[174] 내적과 외적

1. 내적과 외적의 관계

내적과 외적은 두 벡터를 연산하는 방법 중 곱하기와 관련된 두 가지 방법입니다.

내적(內積)과 외적(外積)을 처음 듣는 사람은 이 둘이 서로 반대되는 개념이 아닐까 생각하기 쉽습니다.

하지만 둘은 서로 반대되는 개념이 아닙니다.

그럼 이 둘은 어떤 공통점과 어떤 차이점이 있는지 알아봅시다.

2. 내적의 의미와 계산 방법

내적은 다른 말로 스칼라곱이라고 합니다.

그 이유는 두 벡터의 내적은 스칼라이기 때문입니다.

내적은 한 벡터(a)의 크기와 다른 벡터(b)를 한 벡터(a)에 정사영한 크기를 곱한 값입니다.

내적의 연산 기호는 점입니다.(그래서 내적을 dot product라고도 합니다.)

\(\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \left| \overrightarrow{a} \right|  \left| \overrightarrow{b} \right|  \cos \theta \)

내적을 계산하는 과정을 보면 떠오르는 게 있습니다.

바로 물리에서 일의 양을 구하는 방식이랑 같다는 것입니다.

한 일(W)의 양은 힘(F)과 이동 거리(s)의 내적이다.

벡터 a가 (a1, a2, a3)이고 벡터 b가 (b1, b2, b3)이면,

벡터 a와 벡터 b의 내적은 (a1 x b1) + (a2 x b2) + (a3 x b3)와 같습니다.

연산을 보면 벡터 a와 벡터 b를 바꿔도 결과는 같습니다.

즉, 교환 법칙이 성립합니다.

3. 외적의 의미와 계산 방법

외적은 다른 말로 텐서곱이라고 하며, 두 벡터의 외적은 내적과 다르게 벡터입니다.

외적의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같고, 방향은 두 벡터에 수직입니다.

두 벡터가 이루는 각을 \(\theta\)라고 할 때, 평행사변형의 크기는 \(\left| \overrightarrow{a} \right|  \left| \overrightarrow{b} \right|  \sin \theta\)입니다.

외적은 두 벡터의 회전 방향에 따라 수직 방향이 서로 다르게 결정이 되는데(따라서 외적은 교환 법칙이 성립하지 않습니다.), 회전 방향을 오른손 감는 방향으로 정하면 엄지 손가락의 방향이 됩니다. 2차원에서 이를 적용하면 반시계 방향이 +, 시계 방향이 -인 값이 나옵니다. 따라서 외적을 이용하면 두 2차원 벡터가 주어졌을 때 회전 방향을 알아낼 수도 있습니다.

벡터 a가 (a1, a2, a3)이고 벡터 b가 (b1, b2, b3)이면,

벡터 a와 벡터 b의 외적은 ( (a2 x b3 - a3 x b2), (a3 x b1 - a1 x b3), (a1 x b2 - a2 x b1) )과 같습니다.

이 연산 과정과 관련하여 공부해 볼 내용은 행렬식이 있습니다.

 

 

http://www.findmean.com/수학/벡터/벡터의-내적/

벡터의 내적 – findmean

http://www.findmean.com/수학/벡터/벡터의-외적/

벡터의 외적 – findmean